|
|
Mathématiques,
Géométrie, polygones réguliers :
Comment tracer les polygones réguliers
non constructibles ?
Et si on les traçait quand-même à
la règle et au compas ?
En principe, les polygones réguliers
ne peuvent être construits au compas que pour des nombres de 3,
4, 5, 6, 8, 10, 12, 15 cotés etc. ( Voir la théorie disponible
partout sur le web ) .
On dit alors de ces polygones qu’ils sont « constructibles
»
Mais chaque polygone nécessite
une méthode de construction bien différente en fonction
des nombres de cotés… A l’inverse, les polygones
à 7, 9, 11, 13, 14 cotés etc. « ne seraient pas »
constructibles !
Gros problème pour le bricoleur
qui justement voudrait obtenir une forme polygonale à 13, 14, 19
cotés, voire plus, avec une précision suffisante…
Et bien rassurez-vous, VOUS POUVEZ LE FAIRE…
et, cerise sur le gâteau, avec une méthode unique, quel que
soit le nombre de cotés !
Bizarre... la théorie affirme pourtant le contraire, et je n’ai
trouvé cette information sur aucun site !
j’ai donc décidé de vous faire partager cette méthode
que j’utilise depuis de nombreuses années ; je ne me souviens
plus exactement de son origine, je pense que j’avais trouvé
ça dans un livre de géométrie datant du début
du siècle dernier…
Un seul mot d’ordre : Précision ! utiliser
du bon matériel, principalement un compas de bonne qualité
et une mine fine et bien affûtée ! Il s’agit en principe
d’une méthode « approximative
»… mais en réalité la précision dépend
surtout de vous… n’oubliez pas que si vous obtenez une erreur
de 15/100 de mm, l’erreur reportée sera de n fois 0.15 !!!
Inutile de le dire, vous pouvez augmenter la précision, en reportant
quelques cotés dans le sens horlogique puis les derniers dans l’autre
sens… ( dans cet exemple, pour 11 cotés, 5 dans un sens,
6 dans l’autre… )
Voici le tracé d’un polygone
à 11 cotés, d'autres exemples sont tracés dans le
fichier PDF en fin d'article. Des lettres vont faciliter la description
de la méthode. C’est
finalement assez simple à comprendre si vous suivez les explications
avec le dessin devant les yeux…
Tracer un cercle de diamètre A
– B selon vos besoins.
Avec une ouverture de compas égale à ce diamètre
A - B, placer la pointe sèche en B pour tracer l’arc de cercle
A – C, puis placer la pointe en A pour tracer B - C .
Ces deux arcs se croiseront au point C . ( N’oubliez pas ! soyez
très précis ! )
Tracer ensuite une ( longue ligne
) droite « A – D » de longueur et d’inclinaison
quelconques partant du point A.
Diviser au compas cette droite en n segments identiques,
« n » étant lenombre de cotés à obtenir
.
Cela semble évident, mais vous tracerez difficilement 11 segments
de 3cm sur une feuille A4… donc choisissez la longueur de vos segments
en fonction du nombre de cotés nécessaires et de la place
sur le papier ;-)
Cliquez sur
l'image pour agrandir.
Reliez ensuite ( avec précision
) le dernier point D vers l'intersection du cercle avec le point B sur
le diamètre .
Ce trait D – B va permettre de tracer une parallèle E F,
afin de déterminer le point X.
A ce niveau de la construction, vous pourriez
utiliser une équerre à parallèles pour tracer toutes
les droites parallèles à D – B, mais c’est sans
doute plus rapide et surtout plus précis de déterminer uniquement
le point « F » au compas comme ci-dessus :
Avec une ouverture de compas de longueur D-B, tracer un arc de centre
E .
Avec une ouverture de compas de longueur D-E, tracer un arc de centre
B.
Le point « F » est déterminé par l’intersection
de ces deux arcs de cercles
La droite passant par les points E et F donne le point X sur le diamètre
A - B .
Quel que soit le nombre de cotés
à obtenir, la droite servant à trouver la position de X
passera toujours par le deuxième point « E » sur la
droite A – D pour rejoindre le point F.
La droite tracée à partir
de C et passant par X détermine la position du point Y sur la circonférence
du cercle.
Le segment A-Y est le coté du polygone recherché, à
reporter au compas sur la circonférence.
Si vous avez êtes précis,
vous devriez obtenir 11 cotés identiques et une erreur de quelques
mm .
Ici, même si j'ai essayé d'être précis dans
mes constructions, l’erreur obtenue était de 13mm sur un
cercle de diamètre de 13cm ; ( 1mm par cm de diamètre ?
) J'ai divisé cette erreur par le nombre de cotés ( 11 ),
puis j'ai rectifié l’ouverture du compas de 1mm pour tenter
de tracer un segment plus précis…
Au deuxième essai l'imprécision était plus petite
que 1mm sur la circonférence. Bien sûr ce n’est pas
évident de corriger de quelques dixièmes de mm… donc,
si vous voulez un nombre de cotés important, le mieux serait sans
doute de tracer un grand cercle servant aux constructions, puis de tracer
le plus petit cercle à partir du même centre « O »,
et de reporter sur ce petit cercle chaque sommet du polygone en traçant
les lignes convergeant vers le centre…
Cet article est publié sur mon site http://www.on4nb.be/polygones
avec quelques exemples supplémentaires.
Alors, à vos compas… vos
commentaires sont les bienvenus via 
!
Téléchargez l'article et des exemples supplémentaires
en format PDF afin d'utiliser le zoom sur les tracés : polygones.pdf
|
|
